Prof. Fábio Barbieri
A prova da Anpec é composta por questões que contém proposições que podem ser verdadeiras ou falsas. Cada proposição pode conter, por sua vez, um conjunto de informações sobre a matéria. Como podemos dizer que uma proposição é verdadeira ou falsa a partir da veracidade ou falsidade de cada informação contida nela? Para responder essa pergunta, é útil o estudo das regras elementares da lógica simbólica.
Iniciamos com algumas definições.
Proposições são sentenças as quais se aplicam os qualificativos “Falso” ou “Verdadeiro”. São simples (exemplo: "q é um bem normal") ou compostas, ou seja, proposições simples ligadas por conectivos (exemplo: "Se q é um bem normal, então não pode ser um bem de Giffen").
As proposições simples são representadas por letras como A, B, C, ... ou p, q, ...
Os conectivos usados pela lógica são a junção, disjunção, negação, condicional e bicondicional, representadas respectivamente pelos seguintes símbolos:
e (^), ou (v), não (~ ou ¬ ), se...então... (->), se e somente se (<->)
Exemplos de proposições compostas:
Princípio da não contradição: ~(P^~P). Não é verdade que uma frase p é ao mesmo tempo verdadeira e não verdadeira (falsa).
Exemplo: "não pode ocorrer que um bem seja normal e sua curva de demanda seja positivamente inclinada".
Princípio do terceiro excluído: P∨~P. Ou ocorre p ou ocorre a sua negação (não existe terceira opção)
Exemplo: ou um bem é inferior ou é normal
Tabela Verdade:
É fundamental para o exame saber quando uma proposição composta é verdadeira ou não. Qualquer proposição simples ou é verdadeira ou é falsa. A veracidade de uma proposição composta, por sua vez, depende da veracidade das proposições simples que a compõe. Assim, podemos representar em uma tabela todas as combinações relativas as proposições simples. Tais tabelas são conhecidas como tabelas verdade.
Vejamos as tabelas verdade básicas:
Negação:
Quando uma afirmação p for verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa.
Exemplo: "A função utilidade é não decrescente na quantidade do bem." Na prova, de vez em quando surge a dupla negação ~~P, cuja tabela verdade equivale aquela de P.
Conjunção (e):
Para a conjunção ser verdadeira, as duas proposições simples devem ser verdadeiras; do contrário, a sentença "isso e aquilo será falsa.
Exemplo: "Em equilíbrio competitivo, cada firma produz minimizando o custo médio e igualando o preço ao custo marginal."
Disjunção (ou):
Para a disjunção ser verdadeira, basta que uma das duas proposições simples seja verdadeira (ou ainda as duas ao mesmo tempo) para que a proposição composta também o seja. Repare que no linguajar coloquial, de outro modo, “ou isso ou aquilo” tende a significar que quando um deles ocorre, o outro não. Em lógica, o ‘ou’ é não excludente. Exemplos:
“ou o bem é normal ou inferior” é excludente, enquanto que “ou o bem é complementar ou toda curva de demanda é positivamente inclinada” é não excludente. Neste último caso, a frase seria verdadeira, pois a primeira parte é verdadeira.
Proposição condicional (se...então):
Chegamos no conectivo mais importante. Seja p igual a “o bem é inferior” e q igual a “o bem é de Giffen”. “Se o bem for de Giffen, então será inferior” é verdadeira. A única maneira de refutar essa afirmativa é encontrar um exemplo no qual o bem seria de Giffen e não inferior, como está indicado na segunda linha, a única assinalada com F na proposição composta. A última linha seria representada por um bem normal que não é de Giffen. A existência desse caso não diz nada sobre a veracidade da proposição condicional. Portanto, assinalamos verdadeiro.
Na terceira linha, teríamos um bem que não é de Giffen, mas é inferior. Esses bens, que existem, também não provam a falsidade da afirmação composta. Repare que na implicação condicional ‘não vale a volta’: seria falso concluir que se um bem for inferior, então é de Giffen. Esse exemplo, aliás, ocorre inúmeras vezes em provas da Anpec.
A frase “Se p, então q” pode ainda ser expressa como: “todo p é q”, “p é condição suficiente para q’ ou ainda “q é condição necessária para p”.
Proposição bicondicional (se e somente se):
Quando p implica em q e vice-versa, temos ao proposição bicondicional. Ela é válida quando as duas proposições simples têm o mesmo valor de verdade: ou as duas são falsas ou as duas verdadeiras. Nesses casos, temos a proposição composta assinaladas por V. Quando uma for verdadeira e outra falsa, a bicondicional será falsa.
Tautologia:
Tautologias são sentenças compostas que são sempre verdadeiras, independente do valor das proposições simples. Isso pode ser visto pelas tabelas verdades.
Exemplos:
a) Pv~P
Exemplo: "ou uma cesta de consumo é preferida a outra ou esta é preferida a aquela".
b) exercício: Preencha a tabela verdade e mostre que a sentença composta é uma tautologia:
(A^B) -> (AvB)
Contradição:
Contradições são proposições cuja tabela verdade tem todas as linhas falsas. Construa as tabelas verdades das sentenças abaixo:
a) A<->~A
b) P^~P
Equivalência Lógica (<=>):
Temos uma equivalência tautológica quando duas sentenças apresentam tabelas verdades iguais e compostas das mesmas proposições simples. Na prova da Anpec, muitas vezes é útil trocar uma sentença com significado complicado por uma outra proposição equivalente.
Vejamos alguns exemplos importantes de equivalências(verifique você mesmo se as tabelas são equivalentes):
a) Associação
(A^B)^C <=> A^(B^C)
(AvB)vC <=> Av(BvC)
b) Distribuição
A^(BvC)<=>(A^B)v(A^C)
Av(B^C)<=>(AvB)^(AvC)
c) Dupla Negacão
~ ~ A <=> A
Na prova, quando isto ocorrer, substitua a primeira pela segunda para desocupar espaço na sua cabeça!
d) Equivalência Condicional
A->B <=> ~AvB
A->B <=> ~B->~A
"Se estiver chovendo, estará nublado" é equivalente a "não está chovendo ou está nublado" ou ainda "se não estiver nublado, então não estará chovendo". Verifique pelas tabelas verdades.
Negação de Proposições Compostas:
Para negar uma conjunção, preciso negar as duas simples ao mesmo tempo.
Para negar uma disjunção, basta negar uma delas (ou não uma, ou não outra).
Para negar uma proposição condicional, teria que achar um exemplo no qual estivesse chovendo (A) e não estivesse nublado (~B).
Raciocínios Válidos e Raciocínios Falaciosos:
Um raciocínio é válido quando toda vez que as premissas são verdadeiras, a conclusão também o é. Isso pode ser verificado montando-se uma tabela verdade que contenha todas as proposições e selecionar aquelas linhas com premissas verdadeiras e verificar se nesse caso as conclusões também são verdadeiras. Quanto às linhas com pelo menos uma premissa falsa, a conclusão pode ser tanto verdadeira quanto falsa.
Uma das formas mais importantes de raciocínio válido é conhecida como modus tollens:
A->
~B
~A
As duas primeiras linhas são premissas e a última, sob a barra, é a conclusão. Se for verdade que A implica em B e ao mesmo tempo sabemos que B não ocorre, então podemos garantir que A também não ocorrerá.
Um raciocínio é inválido ou falacioso quando a partir de premissas verdadeiras não podemos garantir que sempre as conclusões serão válidas. A verificação disso também pode ser feita a partir das tabelas verdades.
Uma falácia bem comum é a seguinte:
A->B
~A
~B
Se não estiver chovendo, isso não significa que não estará nublado. A conclusão não segue das premissas.
Exercício: nos dois argumentos, verifique a sua validade ou falsidade construindo as tabelas verdades das premissas e conclusões e selecionando os casos nos quais as premissas são verdadeiras.